Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l'intervalle [-1 ; 1].
On note G_k le barycentre du système .

1. Représenter les points A, B, C, le milieu de I de [BC] et construire les points G₁ et G_-1.
2. a. Montrer que pour tout réel k de l'intervalle [-1 ; 1], on a l'égalité :

                         .
   b. Etablir le tableau de variation de la fonction définie sur [-1 ; 1] par .
   c. En déduire l'ensemble des points G_k quand k décrit l'intervalle [-1 ; 1].

3. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :
            .

4.Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :
            .

5. L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal . Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (-1 ; 2 ; 1) et (-1 ; 2 ; 5).
Le point G_k et les ensembles E et F sont définis comme ci dessus.

1. Calculer les coordonnées de G₁ et G_-1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.
2. Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct [ unité graphique : 6 cm ].

On considère la suite (a _n) de nombres réels définie par et pour tout entier naturel n, . Pour tout entier naturel n, on appelle M_n le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l'angle ait pour mesure a _n.

1.Placer les douze points M₀, M₁, M₂, ..., M₁₁.

2. On appelle z_n l'affixe de M_n. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité:
                            .

3. a. Montrer que pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
     - les points M_n et M_{n + 6} sont diamétralement opposés ;
     - les points M_n et M_{n + 12} sont confondus.

   b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité . En déduire que la distance M_n M_{n + 4} vaut puis que le triangle M_n M_{n + 4} M_{n + 8} est équilatéral.

       On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points M_n sont de la forme M_n M_{n + 4} M_{n + 8}.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M₀, M₁, M₂, ..., M₁₁, sont disposés dans une urne.
    On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral. 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;) [unité graphique : 6 cm].
On considère la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :
                            
et on définit une suite de points () de la manière suivante:

a pour affixe et pour tout entier naturel =). On appelle l'affixe de .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de . Placer les points , , .
2. Montrer que pour tout entier naturel , on a l'égalité :
                          
   ( on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p, montrer que deux points M_n et M_p sont confondus si et seulement si (n - p) est multiple de 12.

     4.
        a  On considère l'équation (E) : 12x - 5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4, 9) est solution, résoudre l'équation (E).

        b  En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que M_n appartienne à la demi-droite [Ox).

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct . Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

  On définit la fonction f sur par

1. Calculer les limites de f en 0 et en .

2. Etudier le sens de variation de f sur .

3. Soit C la courbe représentative de f dans et A le point de C d'abscisse 3
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de C d'abscisse , P le projeté orthogonal de B sur l'axe et H le projeté orthogonal de B sur l'axe .

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère et représenter la courbe C.

  Soit r la rotation de centre O et d'angle . A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point M' d'affixe z'.

1.a. Donner z' en fonction de z.

On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x,y,x',y' réels), exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.

   b. Déterminer les coordonnées des points A', B' et P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans le repère .

   a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à C, son image M' par r appartient à .
     On admet que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit .

   b. Tracer sur le graphique précédent les points A', B', P' et la courbe (l'étude des variations de g n'est pas demandée).

  On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

1. Calculer l'intégrale . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2.a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments , et et l'arc de courbe C d'extrémités B et A.

   b. On pose   
     Trouver une relation entre A et puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale .

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